ENCYCLOPEDIE -DE--LA--LANGUE -FRANCAISE
-------ABAQUE-------------
 

CALCUL

 
 
CHINE
premiers abaques
à calcul
ou
à jonchets

 


     

 
Premiers abaques: Les fiches à calcul ou jonchets
 
Introduction
Pratique des jonchets
Méthodes opératoires

 
Introduction
Comptable calculant sur l'abaque à jonchets. Tiré de l'ouvrage japonais Shôjutsu sangaku zue, 1795, de Miyake Kenriyû (Smith and Mikami, 1914, p. 29).
 
Les premières attestations de l'abaque utilisant le système des fiches à calcul datent du IIe siècle avant notre ère, et c'est du IXe siècle de notre ère seulement que date le premier témoignage de cet abaque. Mais tout le monde est unanime pour penser que son invention doit remonter à une époque bien antérieure.
 
Il avait une forme de damier, dessiné sur une tablette ou sur le sol, sur lequel on plaçait des jonchets, sorte de bâtonnets en ivoire ou en bambou, que les Chinois appelaient "chou" (fiche à calcul). Ce témoignage est une anecdote, selon laquelle l'empereur Yang Sun choisissait ses fonctionnaires en fonction de leur habileté et leur rapidité en matière de calcul. Un jour, un fonctionnaire chargé de recruter pour un poste vacant ne parvient pas à départager deux candidats aussi aptes l'un que l'autre à l'occuper, si bien que le recruteur se voit obligé de se tourner vers l'empereur lui-même. L'empereur propose alors aux deux postulants un problème arithmétique, en leur demandant de faire leurs calculs avec des jonchets sur le carrelage du vestibule.

 
Pratique des jonchets

 
Au début, on plaçait, colonnes après colonnes, un nombre de jonchets égal à celui des unités de l’ordre décimal correspondant. Mais, dans un souci de simplification. Les calculateurs chinois finirent par adopter la convention suivante, ainsi formulée dans les vieux traités arithmétiques chinois: "Que les unités soient longitudinales et les dizaines transversales, que les centaines soient debout et les milliers couchés, que milliers et dizaines se regardent, et que myriades et centaines se correspondent".
On craignait en effet, explique le mathématicien Mei Wen Ding, que les
groupes ne se confondissent à cause de leur grand nombre.
 
Sur cet abaque, chaque colonne était associée à un ordre décimal, de droite à gauche: La première était associée aux unités, la suivante aux dizaines, la troisième aux centaines, et ainsi de suite:

Représentation des unités et des dizaines au moyen des jonchets

Donc, pour éviter les confusions, on a opté pour une orientation verticale des jonchets dans les colonnes de rang impair, à compter de la droite, ceux des colonnes de rang pair étant orientés horizontalement, comme le montre l'exemple de gauche:

 

A droite, exemple de représentation de nombres entiers sur l'abaque à jonchets

 
Méthodes opératoires

 
Les additions et les soustractions se faisaient simplement. Il suffisait de représenter sur les cases les nombres à additionner ou à soustraire, puis de réunir ou d'ôter, colonne par colonne, les jonchets correspondants.
La multiplication n'était guère plus compliquée: Le multiplicateur étant posé sur les cases du haut et le nombre à multiplier quelques lignes plus bas, les produits partiels étaient disposés sur une ligne moyenne, puis additionnés au fur et à mesure de leur obtention. La division, elle, s'opérait en posant le diviseur tout en bas et le dividende sur la ligne moyenne. Le quotient, qui se plaçait en haut, s'obtenait en enlevant au fur et à mesure du dividende les jonchets équivalents aux produits partiels.
Sur l'abaque à jonchets, on pouvait aussi résoudre des équations ou des systèmes d'équations algébriques à plusieurs inconnues. Le Jiu zhang suan shu ("l'art du calcul en neuf chapitres"), ouvrage compilé sous la dynastie Han ( -206 à 220 ap. J-C), en donne déjà de nombreux détails. Chaque colonne était associée à une équation et chaque ligne à un coefficient d'une même inconnue, les nombres positifs (nommés en chinois "zheng", littéralement "corrects") étant représentés par des jonchets ordinaires et les nombres négatifs (en chinois " fu ", littéralement "trompeurs") étant identifiés à l'aide de jonchets noirs.
 
Cette numération figurée a inspiré la découverte du principe de position par les savants chinois. Le système des barres numérales ne fut rien d'autre, en effet, que la réplique immédiate par écrit de la représentation des nombres au moyen des jonchets sur cet abaque, où les unités des différents ordres décimaux se succédaient régulièrement de gauche à droite, dans l'ordre décroissant. Or, une fois terminé le calcul au moyen des jonchets, les savants chinois, à l'instar des savants indiens ou arabes, avaient l'habitude de copier le résultat dans leurs écrits en éliminant les lignes et les colonnes successives de l'abaque. Et comme cette représentation figurée reposait elle-même sur la règle de position, les barres numérales, qui schématisèrent ainsi les "fiches à calcul", reçurent donc bien désormais une valeur variable dépendant de leur position dans une telle écriture des nombres.
Ainsi, le système des "fiches" servit à effectuer concrètement les calculs, et la notation suan zî (littéralement "calcul au moyen des fiches") à transcrire les résultats correspondants dans les traités mathématiques.
 
Arrêtons-nous enfin, sur l'étymologie du mot chinois "suan", calcul (et le boulier chinois s'appelle suan pan, planchette à calcul, voir prochain chapitre) car elle est très évocatrice de l'abaque à jonchets:
Ce mot s'écrit de trois manières différentes, soit:
Le caractère A dérive de l'idéogramme archaïque A', B de B', C de C'.
A' représente l'idée de deux mains, d'une table réglée et d'un bâtonnet de bambou, B' exprime la même chose moins le bâtonnet, et C' évoque clairement la représentation des jonchets diversement orientés.

 
sources :
 
http://www.math.ens.fr/culturemath/actu/pdf/A%20History%20of%20Chinese%20Mathematics
%20p209-216.pdf (shojutsu)
 
 

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